线性代数学习笔记(2)

线性代数学习笔记(2)

行列式

定义

线性变换对区域面积产生缩放的比例被称为这个变换的行列式(Determinant)。记为:$\rm{det}(\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix})$

例如若行列式为3,就是说一个区域的面积被放大为原来面积的三倍;若行列式为$\frac 1 2$,就是说一个区域的面积被缩小为原来面积的一半。

性质

完整概念中的行列式是允许出现负值的,负值表示反转了空间取向,如果$\hat i$原来在$\hat j$右边,变换后到了$\hat j$左边,则这个空间取向被反转了。此时行列式的绝对值仍然表示区域面积的缩放比例。

在三维空间中,行列式表示体积的缩放比例。三维变换中,可以用右手定则判断空间取向:右手食指指向$\hat i$方向,右手中指指向$\hat j$方向,则大拇指指向为$\hat k$方向。如果变换后仍然可以这么做,则空间取向没有反转,行列式为正;否则,只能用左手做,空间取向发生反转,行列式为负。

计算

对于$2\times2$矩阵$\begin{bmatrix} a & b\ c & d \end{bmatrix}$公式是:

对于$3\times3$矩阵,公式是:

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