线性代数学习笔记(2)

线性代数学习笔记(2)

行列式

定义

线性变换对区域面积产生缩放的比例被称为这个变换的行列式(Determinant) 。记为:det([abcd])\rm{det}(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix})

例如若行列式为3,就是说一个区域的面积被放大为原来面积的三倍;若行列式为12\frac 1 2,就是说一个区域的面积被缩小为原来面积的一半。

性质

完整概念中的行列式是允许出现负值的,负值表示反转了空间取向,如果i^\hat i原来在j^\hat j右边,变换后到了j^\hat j左边,则这个空间取向被反转了。此时行列式的绝对值仍然表示区域面积的缩放比例。

在三维空间中,行列式表示体积的缩放比例。三维变换中,可以用右手定则判断空间取向:右手食指指向i^\hat i方向,右手中指指向j^\hat j方向,则大拇指指向为k^\hat k方向。如果变换后仍然可以这么做,则空间取向没有反转,行列式为正;否则,只能用左手做,空间取向发生反转,行列式为负。

计算

对于2×22\times2矩阵[abcd]\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}公式是:

det([abcd])=adbc\rm{det}(\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix})=ad-bc

对于3×33\times3矩阵,公式是:

det([abcdefghi])=a del([efhi])b del([dfgi])+c del([degh])\rm{det}(\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}) = a\ \rm{del}(\begin{bmatrix}e&f\\h&i\end{bmatrix}) - b\ \rm{del}(\begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix}) + c\ \rm{del}(\begin{bmatrix} d & e \\ g & h \end{bmatrix})

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